Calcolo Esempi

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{8}$ e $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{1}{w^{3} - 1}$ come ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{- 1}$ e $g (w) = w^{3} - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $w^{3} - 1$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $w$ è $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Somma $3 w^{2}$ e $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

Passaggio 4.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Passaggio 5.3.2

$- 24$ e $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Passaggio 5.3.4

$\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ e $w^{2}$ .

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ per $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica ${(w^{3} - 1)}^{2}$ per ${(w^{3} - 1)}^{7}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

Passaggio 5.3.6.2

Somma $2$ e $7$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Passaggio 5.3.7

Sposta $24$ alla sinistra di $w^{2}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

Passaggio 5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = w$ e $b = 1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica.

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Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $w$ per $1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

Passaggio 5.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

Passaggio 5.4.4

Applica la regola del prodotto a $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$