Calcolo Esempi

$h (w) = {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ e $g (w) = w^{2} + 2 w + 4$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w^{2} + 2 w + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w^{2} + 2 w + 4$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 6

$\frac{5}{2}$ e ${(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $w^{2} + 2 w + 4$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $2 w$ rispetto a $w$ è $2 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 12

Poiché $4$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $4$ rispetto a $w$ è $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + 0)$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Somma $2 w + 2$ e $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$

Passaggio 13.2

Riordina i fattori di $\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$ .

$(2 w + 2) \frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$