Calcolo Esempi

$w^{3} \ln (5 w)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ è $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ dove $f (w) = w^{3}$ e $g (w) = \ln (5 w)$ .

$w^{3} \frac{d}{d w} [\ln (5 w)] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = \ln (w)$ e $g (w) = 5 w$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 w$ .

$w^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$w^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 w$ .

$w^{3} (\frac{1}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{5 w}$ e $w^{3}$ .

$\frac{w^{3}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $w^{3}$ e $w$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $w$ da $w^{3}$ .

$\frac{w \cdot w^{2}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $w$ da $5 w$ .

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $5 w$ rispetto a $w$ è $5 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w^{2}}{5} (5 \frac{d}{d w} [w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

$5$ e $\frac{w^{2}}{5}$ .

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $w^{2}$ per $1$ .

$w^{2} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$w^{2} \cdot 1 + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $w^{2}$ per $1$ .

$w^{2} + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$w^{2} + \ln (5 w) (3 w^{2})$

Passaggio 3.8

Riordina i termini.

$w^{2} + 3 w^{2} \ln (5 w)$