Calcolo Esempi

$g (t) = t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{3}}$ come ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{3}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{3}$ .

$2 t - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 t - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{3}$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t - (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$2 t - (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 t - (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.8

Moltiplica $t^{- 6}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.8.1

Sposta $t^{2}$ .

$2 t - (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 t - (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.8.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$2 t - (- 3 t^{- 4}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{1}{t^{3}}$ per $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + 0$

Passaggio 2.11

Somma $3 t^{- 4}$ e $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t + 3 \frac{1}{t^{4}}$

Passaggio 3.2

$3$ e $\frac{1}{t^{4}}$ .

$2 t + \frac{3}{t^{4}}$