Calcolo Esempi

$f (t) = \tan (e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\tan (e^{7 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (e^{7 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [\tan (e^{7 t})]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = e^{7 t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{7 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{7 t}$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) \frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 7 t$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [7 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [7 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} \frac{d}{d t} [7 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7 t$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} (7 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} (7 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} \cdot 7) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 2.6

Sposta $7$ alla sinistra di $e^{7 t}$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \tan (7 t)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\tan (7 t)$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\tan (7 t)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\tan (7 t)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\tan (7 t)$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} \frac{d}{d t} [\tan (7 t)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 7 t$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\tan (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Passaggio 3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7 t$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) (7 \cdot 1))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) \cdot 7)$

Passaggio 3.6

Sposta $7$ alla sinistra di $\sec^{2} (7 t)$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (7 \cdot \sec^{2} (7 t))$

Passaggio 3.7

Sposta $7$ alla sinistra di $e^{\tan (7 t)}$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + 7 e^{\tan (7 t)} \sec^{2} (7 t)$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$7 e^{7 t} \sec^{2} (e^{7 t}) + 7 e^{\tan (7 t)} \sec^{2} (7 t)$