Calcolo Esempi

$g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2} (3 t^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Passaggio 1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2}$ e $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{2} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{2}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Passaggio 5.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Passaggio 5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + 0)))$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.1

Somma $4 t$ e $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t)))$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (8 (2 t^{2} - 1) t))$

Passaggio 6

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $t$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t \cdot t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Passaggio 6.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1} t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1 + 2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Passaggio 6.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2}) + 8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2})) + t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{3} (16 t^{2})) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.3.3

Somma $2$ e $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.4

Sposta $16$ alla sinistra di $t^{5}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (16 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.5

Moltiplica $16$ per $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Passaggio 7.4.6

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 8)$

Passaggio 7.4.7

Sposta $- 8$ alla sinistra di $t^{3}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (- 8 \cdot t^{3})$

Passaggio 7.4.8

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} - 24 t^{3}$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t {(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 7.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.6.1

Riscrivi ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ come $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t ((2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1))$

Passaggio 7.6.2

Espandi $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1))$

Passaggio 7.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1))$

Passaggio 7.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.6.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.6.3.1.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 7.6.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1)$

Passaggio 7.6.3.2

Sottrai $2 t^{2}$ da $- 2 t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 4 t^{2} + 1)$

Passaggio 7.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4}) + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Passaggio 7.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Passaggio 7.6.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 1$

Passaggio 7.6.5.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Passaggio 7.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.1

Moltiplica $t$ per $t^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.1.1

Sposta $t^{4}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.1.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.3

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t) + 6 t$

Passaggio 7.6.6.3.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t^{1}) + 6 t$

Passaggio 7.6.6.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{2 + 1} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{3} + 6 t$

Passaggio 7.6.6.4

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t$

Passaggio 7.7

Somma $48 t^{5}$ e $24 t^{5}$ .

$72 t^{5} - 24 t^{3} - 24 t^{3} + 6 t$

Passaggio 7.8

Sottrai $24 t^{3}$ da $- 24 t^{3}$ .

$72 t^{5} - 48 t^{3} + 6 t$