Calcolo Esempi

$\cos (\sqrt{8 t + 11})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 t + 11}$ come ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\cos ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 8 t + 11$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 t + 11$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11])$

Passaggio 10

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

Passaggio 12

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d t} [11])$

Passaggio 13

Poiché $11$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $11$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0)$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Somma $8$ e $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8$

Passaggio 14.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

$- 8$ e $\frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.4

Scomponi $2$ da $- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.1

Scomponi $2$ da $2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$