Calcolo Esempi

$\arccos (e^{- t})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \arccos (t)$ e $g (t) = e^{- t}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arccos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{- t}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{- t})}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- t})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- t \cdot 2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$e^{- t}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ .

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (- \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3

Moltiplica.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ per $1$ .

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \cdot 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ per $1$ .

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$