Calcolo Esempi

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a (1 - e^{- k t}) + b$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $a (1 - e^{- k t})$ rispetto a $t$ è $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{- k t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- e^{- k t}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - k t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.6

Poiché $- k$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- k t$ rispetto a $t$ è $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{- k t}$ per $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 2.11

Somma $0$ e $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Passaggio 3

Poiché $b$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $b$ rispetto a $t$ è $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Somma $a e^{- k t} k$ e $0$ .

$a e^{- k t} k$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori in $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$