Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{t} (8 - t)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}} (8 - t)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ e $g (t) = 8 - t$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [8 - t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$t^{\frac{1}{3}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [- t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- \frac{d}{d t} [t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 1) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$t^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t^{\frac{1}{3}}$ .

$- 1 \cdot t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi $- 1 t^{\frac{1}{3}}$ come $- t^{\frac{1}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 10

Sposta $t^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- t^{\frac{1}{3}} + 8 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.2.1

$8$ e $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.2

$\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ e $t$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.3

Sposta $t^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 11.2.4.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.2.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.2.4.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.2.5

Per scrivere $- t^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.6

$- t^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.9

Sottrai $t^{\frac{1}{3}}$ da $- 3 t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3

Riordina i termini.

$\frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$