Calcolo Esempi

$- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Passaggio 1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ rispetto a $t$ è $- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$ .

$- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

$- 6 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{4} - 1)}^{4}] + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 5 t^{4} - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 t^{4} - 1$ .

$- 6 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 6 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t^{4} - 1$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{4} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{4}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + 0)) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $20 t^{3}$ e $0$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3})) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $20$ per $4$ .

$- 6 (t (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3} t^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (t^{3} t^{1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 (t^{3 + 1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 7

Somma $3$ e $1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \cdot 1)$

Passaggio 9

Moltiplica ${(5 t^{4} - 1)}^{4}$ per $1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $80$ per $- 6$ .

$- 480 (t^{4} ({(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Passaggio 10.3

Scomponi $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ da $- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3} - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ da $- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ da $- 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ da $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4} - (5 t^{4} - 1))$