Calcolo Esempi

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4} - 27 x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 (2 x)) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $x^{2} - 9$ da $- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $x^{2} - 9$ da $(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 (x^{4} - 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 27 x^{2})) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.3.1.1

Espandi $(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 10.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.3.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{2} x - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x \cdot x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x^{1} x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{1 + 2} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.5

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.1.6

Moltiplica $- 54$ per $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.2.2

Sottrai $36 x^{3}$ da $- 54 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.3.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.1.5

Moltiplica $- 27$ per $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.2

Combina i termini opposti in $4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Sottrai $4 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 0 + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.2.2

Somma $- 90 x^{3} + 486 x$ e $0$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.3.3

Somma $- 90 x^{3}$ e $108 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.4

Scomponi $18 x$ da $18 x^{3} + 486 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi $18 x$ da $18 x^{3}$ .

$\frac{18 x (x^{2}) + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.4.2

Scomponi $18 x$ da $486 x$ .

$\frac{18 x (x^{2}) + 18 x (27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.4.3

Scomponi $18 x$ da $18 x (x^{2}) + 18 x (27)$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 10.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.5.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{3}}$

Passaggio 10.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{3}}$

Passaggio 10.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$