Calcolo Esempi

$\frac{x^{4}}{1 - x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$\frac{(1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(1 - x^{3}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $1 - x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + 1 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{4} (3 x^{2})}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{2} x^{4} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{2 + 4} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{6} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + 3 \cdot x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- x^{3})) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- (x^{3} x^{3})) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{3 + 3}) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{6}) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{6} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Somma $- 4 x^{6}$ e $3 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{6} + 4 x^{3}}{{(- x^{3} + 1)}^{2}}$