Calcolo Esempi

$\frac{x^{3} + 27}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} + 27$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2 + 3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 x^{5} - (x^{3} + 27) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{3} + 27) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{5} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot 27) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.3.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{2} x^{3}) - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{2 + 3} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.3.1.1.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $27$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $3 x^{5}$ da $3 x^{5}$ .

$\frac{0 - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.3.3

Sottrai $81 x^{2}$ da $0$ .

$\frac{- 81 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Passaggio 7.4.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 81 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{6}}$

Passaggio 7.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.4.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 7.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 81}{x^{4}}$

Passaggio 7.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{81}{x^{4}}$