Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - x - 2$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x - 2) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Sottrai $4 x$ da $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- - x$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + 1 x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 2 + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 5 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1$