Calcolo Esempi

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

$3$ e $\frac{x^{3}}{9}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

Passaggio 1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.2.1

$\frac{3 x^{3}}{9}$ e $\ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3} \ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Passaggio 1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Passaggio 1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x - 1}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{x^{3}}{x - 1}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

Passaggio 5

Per scrivere $\ln (x - 1) (3 x^{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.2

Semplifica $3 \ln (x - 1)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 8.2.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.1.6

Riscrivi $- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ come $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.2.2

Riordina i fattori in $x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$