Calcolo Esempi

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - e^{x}$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $- e^{x}$ per $1$ .

$\frac{- e^{x} + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.3

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- e^{x} - e^{x + x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.3.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.5

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.6

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.6.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - (e^{x} e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x + x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.6.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.7

Moltiplica $- - e^{2 x}$ .

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Passaggio 6.4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + 1 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.7.2

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Combina i termini opposti in $- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}$ .

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Passaggio 6.4.2.1

Somma $- e^{2 x}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{- e^{x} + 0 - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $- e^{x}$ e $0$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.4.3

Sottrai $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$