Calcolo Esempi

$\frac{x^{5} + 7}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{5} + 7$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4}) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{7}$ .

$\frac{5 \cdot x^{7} - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5 x^{7} - (x^{5} + 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 6

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{7} - 3 (x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 6.2

Scomponi $x^{2}$ da $5 x^{7} - 3 (x^{5} + 7) x^{2}$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $5 x^{7}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5}) - 3 (x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x^{5} + 7) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5}) + x^{2} (- 3 (x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (5 x^{5}) + x^{2} (- 3 (x^{5} + 7))$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Passaggio 7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7)}{x^{4}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $- 3$ per $7$ .

$\frac{5 x^{5} - 3 x^{5} - 21}{x^{4}}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $3 x^{5}$ da $5 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 21}{x^{4}}$