Calcolo Esempi

$\frac{x^{6}}{1 + \ln (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $1 + \ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x}$ e $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{6}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{5}}{1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica $6 \ln (x)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\frac{6 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $x^{5}$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Riordina i fattori in $5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.4

Scomponi $x^{5}$ da $5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x^{5}$ da $5 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} \ln (x^{6})$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))$ .

$\frac{x^{5} (5 + \ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$