Calcolo Esempi

$- \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ come ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 2}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- (- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 ({(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 4.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.10.1

Moltiplica $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ per $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + 0$

Passaggio 4.10.2

Somma $- 2 {(1 - x)}^{- 3}$ e $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$