Calcolo Esempi

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + \tan (x)$ e $g (x) = 1 - \tan (x)$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $1 + \tan (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Combina i termini opposti in $1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 6.3.1.1

Somma $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ e $\tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1 \sec^{2} (x) + 0 + 1 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Somma $1 \sec^{2} (x)$ e $0$ .

$\frac{1 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Somma $\sec^{2} (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$