Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ come ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5 x + 6$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.6

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $2 x + 5$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ .

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$ .

$2, 3$

Passaggio 4.6.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x + 3)$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 2 x - 5$ per $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $- (2 x + 5)$ come $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$