Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{3}$ da $3 x^{7} - x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $3 x^{7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Passaggio 1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Passaggio 1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

Passaggio 1.2.2.5

Dividi $x^{2} (3 x^{4} - 1)$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3

Somma $3$ e $2$ .

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5

Sposta $12$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

Passaggio 7

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x^{4} - 1$ .

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

Passaggio 8.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

Passaggio 8.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

Passaggio 8.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

Passaggio 8.3.4

Somma $1$ e $4$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

Passaggio 8.3.6

Somma $12 x^{5}$ e $6 x^{5}$ .

$18 x^{5} - 2 x$