Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{3} + 5}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{3} + 5$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{x (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 x^{1 + 2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5)}{x^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3}) - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 5}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $3 x^{3}$ da $9 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5}{x^{2}}$