Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} - x}{{(2 x - 1)}^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{2} - x$ e $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{({(2 x - 1)}^{5})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x - 1)}^{5})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{5 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1 \cdot 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 4.2

Scomponi ${(2 x - 1)}^{4}$ da ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi ${(2 x - 1)}^{4}$ da ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1)$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi ${(2 x - 1)}^{4}$ da $- 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi ${(2 x - 1)}^{4}$ da ${(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi ${(2 x - 1)}^{4}$ da ${(2 x - 1)}^{10}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2} - x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.2.1.1

Espandi $(2 x - 1) (6 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 12.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 12.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.1.5

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.2.2

Sottrai $6 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $30 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{2} - 8 x + 1 + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.2.3

Somma $- 8 x$ e $10 x$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.3

Scomponi $- 1$ da $- 18 x^{2}$ .

$\frac{- (18 x^{2}) + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.4

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$\frac{- (18 x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.5

Scomponi $- 1$ da $- (18 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.6

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.7

Scomponi $- 1$ da $- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.8

Riscrivi $- (18 x^{2} - 2 x - 1)$ come $- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Passaggio 12.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{18 x^{2} - 2 x - 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$