Calcolo Esempi

$\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 e^{x} - 8$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 e^{x} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + 0)}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.1

Somma $5 e^{x}$ e $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x} e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $e^{x}$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 (e^{x} e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x + x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Somma $x$ e $x$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 8

$3$ e $\frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$ .

$\frac{3 ((5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x} - 8 e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.3.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.3.1.1.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{3 (5 (e^{x} e^{x})) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 (5 e^{x + x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.1.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{3 (5 e^{2 x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.3

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.4

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Combina i termini opposti in $15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}$ .

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Passaggio 9.3.2.1

Sottrai $15 e^{2 x}$ da $15 e^{2 x}$ .

$\frac{0 - 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.3.2.2

Sottrai $24 e^{x}$ da $0$ .

$\frac{- 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$