Calcolo Esempi

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ per $1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da $- 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da ${(x^{2} + y^{2})}^{4}$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 9

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 14

Somma $1$ e $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$2 y \frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 16

$2$ e $\frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ .

$y \frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 17

$y$ e $\frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ .

$\frac{y (2 (- 3 x^{2} + y^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2})) + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot - 3 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3.4

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.3.4.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

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Passaggio 18.3.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{2 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.3.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.4

Riordina i termini.

$\frac{2 y^{3} - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.5

Scomponi $2 y$ da $2 y^{3} - 6 x^{2} y$ .

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Passaggio 18.5.1

Scomponi $2 y$ da $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y (y^{2}) - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.5.2

Scomponi $2 y$ da $- 6 x^{2} y$ .

$\frac{2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Passaggio 18.5.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 y (y^{2} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$