Calcolo Esempi

$\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 4.4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $x$ da $x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x (x \sin (x)) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (1 - \cos (x)) x$ .

$\frac{x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2.3

Scomponi $x$ da $x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))$ .

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x))}{x^{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x \sin (x) - 2 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x \sin (x) - 2 + 2 \cos (x)}{x^{3}}$