Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 5)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 13

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 15

$x$ e $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 16

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 17.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 17.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 19

Moltiplica $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 20

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 21

Somma $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 22

Semplifica.

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Passaggio 22.1

Moltiplica $\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

Passaggio 22.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Passaggio 22.2.1

Moltiplica $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

Passaggio 22.2.2

Combina.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$

Passaggio 22.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 22.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.5

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 22.5.1

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.5.2

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.5.3

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.6

Scomponi $2$ da $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5$ .

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Passaggio 22.6.1

Scomponi $2$ da $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Passaggio 22.6.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 5$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)}$

Passaggio 22.6.3

Scomponi $2$ da $2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$