Calcolo Esempi

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

Passaggio 1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 e^{x} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

$7$ e $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.5.1.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $8$ per $7$ .

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.5

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.8

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.9

Moltiplica $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 6.5.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.1.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.2

Somma $- 14 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.5.3

Riordina i fattori in $56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Passaggio 6.6

Riordina i termini.

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.7.1

Scomponi $7 x$ da $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ .

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Passaggio 6.7.1.1

Scomponi $7 x$ da $- 7 x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.7.1.2

Scomponi $7 x$ da $56 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.7.1.3

Scomponi $7 x$ da $- 28 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.7.1.4

Scomponi $7 x$ da $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.7.1.5

Scomponi $7 x$ da $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.7.2

Riordina i termini.

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.8

Scomponi $- 1$ da $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.9

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.10

Scomponi $- 1$ da $- (4 e^{x} x) - (x)$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.11

Scomponi $- 1$ da $8 e^{x}$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.12

Scomponi $- 1$ da $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.13

Riscrivi $- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ come $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6.15

Riordina i fattori in $- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$