Calcolo Esempi

${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 10

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 11

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 13

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 14

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + 0)$

Passaggio 15

Somma $- 27 x^{- 4} - 5$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Passaggio 16

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Passaggio 17

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 18.1.1

$9$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Passaggio 18.1.2

$- 27$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{- 27}{x^{4}} - 5)$

Passaggio 18.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$

Passaggio 18.2

Riordina i fattori di $\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$ .

$(- \frac{27}{x^{4}} - 5) \frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}}$