Calcolo Esempi

$\frac{8 x^{5} - x^{2} + 8}{3 - x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 8 x^{5} - x^{2} + 8$ e $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{5} - x^{2} + 8] - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{5} - x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{5}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $8$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - (2 x) + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + 0) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $40 x^{4} - 2 x$ e $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.14

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 1 (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.14.2

Moltiplica $8 x^{5} - x^{2} + 8$ per $1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.16

Sposta $2$ alla sinistra di $8 x^{5} - x^{2} + 8$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 \cdot (8 x^{5} - x^{2} + 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (2 (8 x^{5}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Espandi $(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (40 x^{4} - 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $40$ per $3$ .

$\frac{120 x^{4} + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{2} x^{4} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.4.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 (x^{4} x^{2}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{4 + 2} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4.3

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $40$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{2} x + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{1 + 2} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x \cdot x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x^{1} x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{1 + 5}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{6}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.7

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 0 + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $- 6 x$ e $16 x$ .

$\frac{120 x^{4} - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $- 40 x^{6}$ e $16 x^{6}$ .

$\frac{120 x^{4} - 24 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2 x$ da $- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $2 x$ da $- 24 x^{6}$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2 x$ da $120 x^{4}$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2 x$ da $10 x$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3})$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)$ .

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- 12 x^{5}$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $60 x^{3}$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3})$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ come $- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ .

$\frac{2 x (- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Riordina i fattori in $- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$