Calcolo Esempi

${(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - 2 \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Passaggio 9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 11

Semplifica i termini.

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Passaggio 11.1

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 11.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 14

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$