Calcolo Esempi

$\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x^{3} - 7)}^{4}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{3} - 7$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + 0)) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2})) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3} x^{2}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 6

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2 + 3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 6.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Scomponi $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ da $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ .

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Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ da $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.1.1.2

Scomponi $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ da $- 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.1.1.3

Scomponi $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ da $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4) - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 \cdot x^{3} - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} - - 7)}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.1.5

Sottrai $x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{2 x^{6}}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

Passaggio 9.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

Passaggio 9.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{4}}$