Calcolo Esempi

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{h}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + h$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + h$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 3.3

Poiché $h$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $h$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

Passaggio 3.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$5$ e $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.2.2

$\frac{5}{h}$ e ${(x + h)}^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.2.3

$- 5$ e $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

Passaggio 4.2.4

$\frac{- 5}{h}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

Passaggio 4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

Passaggio 4.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$