Calcolo Esempi

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} + 4 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 8 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{2} + 8 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 8$