Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 2 x - 35$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 35] - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 35$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 35$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 35$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Espandi $(x^{2} - 25) (2 x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x + 2) - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Moltiplica $2$ per $- 25$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{1 + 2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 35$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 + 0 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $2 x^{2} - 50 x - 50$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 50 x - 50 + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $- 50 x$ e $70 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $20 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $- 50$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (10 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ e la cui somma è $b = 10$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Scomponi $10$ da $10 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 (x) - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi $10$ come $5$ più $5$ .

$\frac{2 (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 5$ .

$\frac{2 ((- x + 5) (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.4

Riscrivi $- (x - 5)$ come $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.5

Eleva $x - 5$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.6

Eleva $x - 5$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 5)}^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{2}}$