Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 10 x + 25$ e $g (x) = {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{({(x + 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + 0) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.8

Somma $2 x + 10$ e $0$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $x + 5$ da ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x + 5$ da ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10)$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $x + 5$ da $- 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $x + 5$ da $(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x + 5$ da ${(x + 5)}^{4}$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1.1

Espandi $(x + 5) (2 x + 10)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x + 10) + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 10.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.3

Sposta $10$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 \cdot x + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.5

Moltiplica $5$ per $10$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2.2

Somma $10 x$ e $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{20 x + 50 + 0 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $20 x + 50$ e $0$ .

$\frac{20 x + 50 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.3

Sottrai $20 x$ da $20 x$ .

$\frac{0 + 50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.4

Somma $0$ e $50$ .

$\frac{50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.5

Sottrai $50$ da $50$ .

$\frac{0}{{(x + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.3

Dividi $0$ per ${(x + 5)}^{3}$ .

$0$