Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2 - 1}}$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{1}}]$

Passaggio 2

Semplifica.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$