Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.3

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Passaggio 7.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 7.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 7.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{3}}$