Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 14 x$ e $g (x) = {(7 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{({(7 + x)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(7 + x)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 14 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \cdot 1) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $14$ per $1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 7 + x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 u \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 (7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $7 + x$ da ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $7 + x$ da ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14)$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $7 + x$ da $- 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $7 + x$ da $(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $7 + x$ da ${(7 + x)}^{4}$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 7

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \cdot 1}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.1

Espandi $(7 + x) (2 x + 14)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x + 14) + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 11.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 x + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.2

Moltiplica $7$ per $14$ .

$\frac{14 x + 98 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{14 x + 98 + 2 x \cdot x + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.1.5

Sposta $14$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + 14 x - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Somma $14 x$ e $14 x$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $14$ per $- 2$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.2

Combina i termini opposti in $28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x$ .

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Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{28 x + 98 + 0 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $28 x + 98$ e $0$ .

$\frac{28 x + 98 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $28 x$ da $28 x$ .

$\frac{0 + 98}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.2.2.4

Somma $0$ e $98$ .

$\frac{98}{{(7 + x)}^{3}}$

Passaggio 11.3

Riordina i termini.

$\frac{98}{{(x + 7)}^{3}}$