Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 5 x - 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + 0) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.8

Somma $2 x + 5$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.10

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ .

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Passaggio 2.10.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (2 x + 5)$ .

$\frac{x (x (2 x + 5)) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ .

$\frac{x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))$ .

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x + 0 - 10 x + 2}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $5 x$ e $0$ .

$\frac{5 x - 10 x + 2}{x^{3}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $10 x$ da $5 x$ .

$\frac{- 5 x + 2}{x^{3}}$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 2}{x^{3}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 2)}{x^{3}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- (5 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x - 2)}{x^{3}}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $- (5 x - 2)$ come $- 1 (5 x - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 2)}{x^{3}}$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 x - 2}{x^{3}}$