Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{2 x - 5}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{(2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1] - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.13.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(2 x - 5) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (2 x - 2) - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Sottrai $10 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 10 + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 14 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 10 + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $10$ e $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 10 x + 12$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 10 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (- 5 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x + 6)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 3.3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 ((x - 3) (x - 2))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{{(2 x - 5)}^{2}}$