Calcolo Esempi

$\frac{3 x - 1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 10.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Passaggio 12

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Passaggio 13

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Passaggio 14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Passaggio 15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Passaggio 15.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Passaggio 16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Passaggio 17

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Passaggio 18

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.2

Moltiplica $- 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.2.2

$x$ e $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.1.8

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.2

Per scrivere $3 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.3

$3 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.5.1

Scomponi $3 x^{\frac{1}{2}}$ da $3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.5.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.5.1.2

Scomponi $3 x^{\frac{1}{2}}$ da $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.5.1.3

Scomponi $3 x^{\frac{1}{2}}$ da $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.5.1.4

Scomponi $3 x^{\frac{1}{2}}$ da $3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2 - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.5.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.3.5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 19.4.2

Combina.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.5

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.5.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.5.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x^{1} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.6

Semplifica $x^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.7

Elimina il fattore comune di $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.4.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \cdot 3 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.8

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 19.4.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 19.4.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4.11

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 19.4.13

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$