Calcolo Esempi

$\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$4 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$4 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$4 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 3.10

$- 5$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 x^{- 5} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 16$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$