Calcolo Esempi

$3 x {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(16 - x)}^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 16 - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - x$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.9

Moltiplica ${(16 - x)}^{3}$ per $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 5.3

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Passaggio 5.4

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.5

Riscrivi ${(16 - x)}^{2}$ come $(16 - x) (16 - x)$ .

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.6

Espandi $(16 - x) (16 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.7.1.1

Moltiplica $16$ per $16$ .

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.7.1.5.1

Sposta $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $16 x$ da $- 16 x$ .

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.9

Semplifica.

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Passaggio 5.9.1

Moltiplica $3$ per $256$ .

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica $- 32$ per $3$ .

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 5.10

Espandi $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.11.1

Moltiplica $- 4$ per $768$ .

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.2

Moltiplica $768$ per $16$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.11.4.1

Sposta $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.5

Moltiplica $- 96$ per $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.6

Moltiplica $16$ per $- 96$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.11.8.1

Sposta $x$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.11.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.9

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 5.11.10

Moltiplica $16$ per $3$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 5.12

Sottrai $1536 x$ da $- 3072 x$ .

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 5.13

Somma $384 x^{2}$ e $48 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$