Calcolo Esempi

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3 x^{2} + 27$ per $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8

Sottrai $6 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9

$4$ e $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $12$ da $- 12 x^{2} + 108$ .

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Passaggio 10.3.1.1

Scomponi $12$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.2

Scomponi $12$ da $108$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.3

Scomponi $12$ da $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.4.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 27$ .

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Passaggio 10.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

Passaggio 10.4.1.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Passaggio 10.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

Passaggio 10.4.2

Applica la regola del prodotto a $3 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 10.4.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

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Passaggio 10.5.1

Scomponi $3$ da $12 (3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 10.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.5.2.1

Scomponi $3$ da $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Passaggio 10.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$