Calcolo Esempi

$\frac{4 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 10

$4$ e $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin (x) \sin (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.4

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 11.3.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.4

Scomponi $- 4$ da $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.4

Riordina i termini.

$\frac{- 4 - 4 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.5

Scomponi $- 4$ da $- 4 - 4 \sin (x)$ .

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Passaggio 11.5.1

Scomponi $- 4$ da $- 4$ .

$\frac{- 4 (1) - 4 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \sin (x)$ .

$\frac{- 4 (1) - 4 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.5.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 (1) - 4 (\sin (x))$ .

$\frac{- 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.6

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x)$ e ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Passaggio 11.6.1

Scomponi $1 + \sin (x)$ da $- 4 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.6.2.1

Scomponi $1 + \sin (x)$ da ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Passaggio 11.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 4}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Passaggio 11.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 11.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{1 + \sin (x)}$