Calcolo Esempi

$\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{6 x}$ e $g (x) = 5 x + 2$ .

$8 \frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $(5 x + 2) e^{6 x}$ .

$8 \frac{6 \cdot ((5 x + 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $5$ per $1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.9.1

Somma $5$ e $0$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.3

$8$ e $\frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 ((6 (5 x) + 6 \cdot 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x} + 6 \cdot 2 e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $5$ per $6$ .

$\frac{8 (30 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $30$ per $8$ .

$\frac{240 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 8 (12 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $12$ per $8$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} - 40 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Sottrai $40 e^{6 x}$ da $96 e^{6 x}$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Riordina i termini.

$\frac{240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $240 e^{6 x} x$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $56 e^{6 x}$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x + 7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$