Calcolo Esempi

$\frac{6 x + 1}{3 x - 7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 6 x + 1$ e $g (x) = 3 x - 7$ .

$\frac{(3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 1] - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(3 x - 7) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 + \frac{d}{d x} [1]) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x - 7) (6 + 0) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{(3 x - 7) \cdot 6 - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $6$ alla sinistra di $3 x - 7$ .

$\frac{6 \cdot (3 x - 7) - (6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 7]}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - (6 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 (3 x - 7) - 3 (6 x + 1)}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (3 x) + 6 \cdot - 7 - 3 (6 x + 1)}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (3 x) + 6 \cdot - 7 - 3 (6 x) - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Combina i termini opposti in $6 (3 x) + 6 \cdot - 7 - 3 (6 x) - 3 \cdot 1$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $6 (3 x)$ e $- 3 (6 x)$ .

$\frac{3 \cdot 6 x + 6 \cdot - 7 - 3 \cdot 6 x - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Sottrai $3 \cdot 6 x$ da $3 \cdot 6 x$ .

$\frac{6 \cdot - 7 + 0 - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $6 \cdot - 7$ e $0$ .

$\frac{6 \cdot - 7 - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $6$ per $- 7$ .

$\frac{- 42 - 3 \cdot 1}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{- 42 - 3}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $3$ da $- 42$ .

$\frac{- 45}{{(3 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{45}{{(3 x - 7)}^{2}}$